Меня время от времени спрашивают, почему я не пишу. Не пишу я, потому что по геологическому моделированию уже всё написано до меня, а то, что еще не написано, буду писать обязательно. В принципе, даже мои методички вышли в СамГТУ пару лет назад. Выложены на twirpx.com, легко ищутся по кодовому слову ОКТРГЗ, и нет, это не реклама, потому что я не получу за это ни рубля, как не получила за методички 🙂

Кризис непонимания, для кого и для чего я пишу, не разрешился до сих пор. Специалисты всё прекрасно знают без меня; неспециалистам это неинтересно. Небольшая прослойка студентов редко бывает настолько любопытной, чтобы еще и блог в интернете читать про нефтянку. Тем не менее, решила время от времени что-то публиковать. Материалы поднакопились, возможно, они найдут своего читателя.

Сейчас у меня математическая задача. Начнем с кривых относительных фазовых проницаемостей: это относительная проницаемость по какой-либо несмешиваемой фазе (в рассматриваемом случае — по нефти и воде) в присутствии другой фазы.

Зависимость относительных фазовых проницаемостей для воды К_в(S) и нефти К_н(S) от водонасыщенности (общий вид)

На графике видно, как падает скорость движения нефти при увеличении количества воды в образце и наоборот — как становится труднее течь воде в присутствии большого количества нефти. Это всё потому что они не смешиваются между собой.
На графике есть две характерные точки (буду использовать те обозначения, к которым меня приучили в ВУЗе): S_св — связанная водонасыщенность (вода, прилипшая к стенкам породы за счет капиллярных сил, любви к песчаникам и прочих факторов, например, тупиковых пор). Водонасыщенность не бывает меньше, чем S_св, если речь идет о пласте (на поверхности мы, конечно, можем высушить образец насухо). S* — максимальная водонасыщенность: 1-S* — это остаточная нефтенасыщенность, то есть нефть, которую мы не можем вытеснить из пласта, как бы долго мы его ни промывали водой, потому что поверхностное натяжение, размеры пор, опять же, тупиковые и краевые поры и т.д. S* может меняться, если мы будем применять, например, ПАВы (оно же мыло).

Одних кривых фазовых проницаемостей нам мало. Нам надо знать, как будет происходить при разработке вытеснение нефти водой.
Самый простой способ — считать, что вода работает как поршень, вытесняя нефть из пор практически полностью и сразу. Поршневое вытеснение — есть такой термин. Практика показывает, что так почти никогда не бывает.
Второй способ — вода вытесняет нефть потихоньку, не сразу. Поэтому вытеснение называется непоршневым. Но тогда встает вопрос динамики: как понятно, насколько быстро какую долю нефти вытеснит вода? И вот для этого нужны характеристики вытеснения.

Из кривых ОФП одним движением руки строится простейшая функция Бакли-Леверетта (она же кое-где зовется функцией Баклея или Бэкли и Леверетта — кто во что горазд). Древнейшее решение задачи двухфазной фильтрации, потому что самое очевидное.
Выглядит функция вот так:

Внешний вид зависимости f(S)

Как видите, ничего страшного нет. Просто доля скорости воды в сумме скоростей воды и нефти.
Простота функции несет в себе и ее недостаток: скачкообразное изменение насыщенности при движении фронта воды. Это неудобно в расчётах (одному значению X соответствует несколько значений Y). Есть и удобство: кривая на рисунке вытягивается вправо, все время оставаясь подобной самой себе.

Распределение водонасыщенности вдоль радиуса пласта: 1, 2 — истинное, 3 — фиктивное

Переходим к производной функции Бакли-Леверетта. Она дифференцируется по S, как любая другая функция, и получается примерно вот такая картина:

Внешний вид зависимости f'(S)

Для чего она нужна? Чтобы рассчитать распределение водонасыщенности вдоль радиуса пласта. Дальше идет невероятно сложная разработческая формула (для 7-точечной системы разработки):

t* дальше используется для пропорционального изменения кривой в каждый момент времени и определения S, а поскольку в этой теории принято, что обводненность = f(S), то и обводненности:

В предыдущей формуле буквы обозначают: π — понятно, что именно, h — мощность пласта, r_k — радиус круга, эквивалентного по площади элементу 7-точечной системы, q — приемистость скважины (расход воды), f'(S_в) — значение производной функции Бакли-Леверетта на фронте вытеснения нефти водой, и с этим числом связана отдельная сложность.

Определяется S_в в точке касания линии, проведенной из начала линии f(S), к самой линии графика f(S). Повторю иллюстрацию, чтобы не листать обратно:

По определению производной должно соблюдаться вот такое равенство:

Проще всего считать уравнение касательной аналитически: нам известна функция, нам известна точка, через которую должна пройти касательная. Координаты точки касательной [S_св; 0]. Следовательно, уравнение прямой линии с углом наклона, равным значению производной в точке касания, будет такое:

f'(S)(S-S_св)-f(S)=0

Решается относительно S. Я читер и использую функцию Excel «Подбор параметра», точность удовлетворяет.

Если кому-то будет интересно — я решаю задачу, в которой ОФП заданы в следующем виде:

Значение S₁ определяется из условия непрерывности функции К_в (=точка встречи двух частей этой кривой).
Путем несложных преобразований видим, что

Значение A находится из условия, что К_в(1)=1, я так понимаю, исключительно для красоты кривой, по условию задачи:

Использовалась методичка «Расчет показателей разработки однородного пласта на основе модели двухфазной фильтрации для жесткого водонапорного режима (плоскорадиальное движение)»: В.А. Ольховская; Самара. гос. техн. ун-т. Самара, 2011.